Losowanie dwóch kul z urny jednocześnie - prawdopodobieństwo, że obie są białe

Krok 1. Model. Losujemy dwie kule naraz, więc wynikiem jest dwuelementowy podzbiór zbioru $9$ kul (kolejność nie istnieje). Kule tego samego koloru traktujemy jako różne (np. ponumerowane) - dzięki temu wszystkie podzbiory są jednakowo prawdopodobne.

Krok 2. Przestrzeń.

$|\Omega| = \binom{9}{2} = \frac{9 \cdot 8}{2} = 36.$

Krok 3. Zdarzenia sprzyjające. Niech $A$ - „obie kule białe”. Wybieramy $2$ kule spośród $5$ białych:

$|A| = \binom{5}{2} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10.$

Krok 4. Prawdopodobieństwo.

$P(A) = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}.$

Sprawdzenie innym sposobem. Gdyby losować kule po kolei bez zwracania, pierwsza jest biała z prawdopodobieństwem $\tfrac{5}{9}$, a druga (gdy w urnie zostały $4$ białe z $8$ kul) - $\tfrac{4}{8}$. Iloczyn $\tfrac{5}{9} \cdot \tfrac{4}{8} = \tfrac{20}{72} = \tfrac{5}{18}$ - ten sam wynik.

Uwaga o pułapce. Liczenie „$2$ kolory, więc $\tfrac{1}{4}$” albo $\left(\tfrac{5}{9}\right)^2$ jest błędne: pierwsze ignoruje liczbę kul, drugie zakłada zwracanie kuli do urny.

Odpowiedź. $P(A) = \dfrac{5}{18} \approx 0{,}28$.