Losowanie liczby od 1 do 60 - prawdopodobieństwo, że jest podzielna przez 4 lub przez 6

Krok 1. Przestrzeń zdarzeń elementarnych. Każdą z $60$ liczb wylosujemy z tym samym prawdopodobieństwem, więc $|\Omega| = 60$.

Krok 2. Zdarzenia składowe. Niech $A$ - „liczba podzielna przez $4$”, $B$ - „liczba podzielna przez $6$”.

• Wielokrotności $4$: $4, 8, \ldots, 60$, czyli $|A| = \tfrac{60}{4} = 15$.
• Wielokrotności $6$: $6, 12, \ldots, 60$, czyli $|B| = \tfrac{60}{6} = 10$.
• Liczba podzielna przez $4$ i przez $6$ to wielokrotność $\text{NWW}(4, 6) = 12$: $12, 24, 36, 48, 60$, czyli $|A \cap B| = 5$.

Krok 3. Suma zdarzeń. Liczby z części wspólnej policzyliśmy dwa razy - raz w $A$, raz w $B$

• więc odejmujemy je jeden raz:

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 15 + 10 - 5 = 20.$

Krok 4. Prawdopodobieństwo.

$P(A \cup B) = \frac{20}{60} = \frac{1}{3}.$

Uwaga o pułapce. Wynik $\tfrac{25}{60} = \tfrac{5}{12}$ powstaje, gdy zapomnimy odjąć liczby podzielne jednocześnie przez $4$ i $6$. Część wspólną wyznacza NWW, a nie iloczyn $4 \cdot 6 = 24$

• liczba $12$ też jest podzielna przez obie.

Odpowiedź. $P(A \cup B) = \dfrac{1}{3}$.