Rzut dwiema kostkami - prawdopodobieństwo, że wypadnie co najmniej jedna szóstka

Krok 1. Przestrzeń. Wynik to para $(a, b)$, $a, b \in \{1, \ldots, 6\}$, więc $|\Omega| = 36$, a wszystkie pary są jednakowo prawdopodobne.

Krok 2. Zdarzenie przeciwne. Niech $A$ - „co najmniej jedna szóstka”. Słowa „co najmniej jedna” to sygnał, żeby policzyć zdarzenie przeciwne $A'$ - „na żadnej kostce nie ma szóstki”. Wtedy na każdej kostce jest jedna z liczb $1, \ldots, 5$, więc $|A'| = 5 \cdot 5 = 25$.

Krok 3. Prawdopodobieństwo.

$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}.$

Krok 4. Sprawdzenie bezpośrednie. Szóstka na pierwszej kostce: $6$ par $(6, b)$. Szóstka na drugiej: $6$ par $(a, 6)$. Para $(6, 6)$ jest w obu grupach, więc

$|A| = 6 + 6 - 1 = 11.$

Zgadza się z wynikiem z kroku 3.

Uwaga o pułapce. Rozumowanie „każda kostka daje szansę $\tfrac{1}{6}$, więc razem $\tfrac{2}{6} = \tfrac{12}{36}$” liczy dubel $(6, 6)$ dwa razy. Dla dziesięciu kostek dałoby $\tfrac{10}{6} > 1$ - widać, że to nie może być prawda.

Odpowiedź. $P(A) = \dfrac{11}{36} \approx 0{,}31$.