Nierówność x⁴ ≥ 16x² - dlaczego nie wolno dzielić przez x²

Krok 1. Wszystko na jedną stronę.

$x^4 - 16x^2 \ge 0.$

Krok 2. Rozkład na czynniki. Wyłączamy $x^2$ przed nawias, a potem korzystamy ze wzoru na różnicę kwadratów:

$x^4 - 16x^2 = x^2(x^2 - 16) = x^2(x - 4)(x + 4).$

Krok 3. Pierwiastki i krotności. $x = -4$ (pojedynczy), $x = 0$ (podwójny, bo czynnik $x^2$), $x = 4$ (pojedynczy). Wyraz najwyższego stopnia to $x^4$, więc $a_n = 1 > 0$ - start nad osią.

Krok 4. Wężyk. W $4$ przechodzimy pod oś, w $0$ się odbijamy (zostajemy pod osią), w $-4$ wracamy nad oś.

Krok 5. Odczyt. Nad osią: $(-\infty;\ -4)$ i $(4;\ +\infty)$. Nierówność jest nieostra, więc dołączamy wszystkie pierwiastki: $-4$ i $4$ domykają przedziały, a $0$ dochodzi jako punkt izolowany - wokół niego wielomian jest ujemny, ale w nim samym równy zeru, a $0 \ge 0$ to prawda.

Uwaga: „dzielenie przez $x^2$” daje $x^2 \ge 16$, czyli tylko $(-\infty;\ -4\rangle \cup \langle 4;\ +\infty)$. Przez $x^2$ nie wolno dzielić dla $x = 0$ - i tak właśnie gubi się rozwiązanie $x = 0$.

Odpowiedź. $x \in (-\infty;\ -4\rangle \cup \{0\} \cup \langle 4;\ +\infty)$.