Nierówność (3 − x)(x + 2)³(x − 1)² ≤ 0 - pierwiastki wielokrotne

Szkoła średnia średnie

Rozwiąż nierówność:

$(3 - x)(x + 2)^3(x - 1)^2 \le 0.$

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Pierwiastki i krotności. Krotność pierwiastka to wykładnik potęgi jego czynnika:

$x = 3$ - pojedynczy (czynnik $3 - x$ ),
$x = -2$ - potrójny (czynnik $(x + 2)^3$ ),
$x = 1$ - podwójny (czynnik $(x - 1)^2$ ).

Krok 2. Znak współczynnika wiodącego. Mnożymy wyrazy z najwyższą potęgą z każdego czynnika:

$(-x) \cdot x^3 \cdot x^2 = -x^6.$

Stopień $6$ , $a_n = -1 < 0$ - wężyk zaczyna po prawej pod osią. Pułapka: czynnik $(3 - x)$ ma przy $x$ minus.

Krok 3. Wężyk. W $3$ (krotność $1$ , nieparzysta) przechodzimy nad oś. W $1$ (krotność $2$ , parzysta) odbijamy się i zostajemy nad osią. W $-2$ (krotność $3$ , nieparzysta) przechodzimy pod oś.

Wężyk dla W(x) = (3 − x)(x + 2)³(x − 1)²: start od prawej pod osią (wyraz wiodący −x⁶), przejście w 3, odbicie w pierwiastku podwójnym 1, przejście w pierwiastku potrójnym −2.

Krok 4. Odczyt. Pod osią: $(-\infty;\ -2)$ i $(3;\ +\infty)$ . Nierówność nieostra, więc dołączamy pierwiastki $-2$ i $3$ , a pierwiastek $1$ - jako punkt izolowany, bo $W(1) = 0 \le 0$ , choć wokół niego wielomian jest dodatni.

Krok 5. Sprawdzenie. $W(0) = 3 \cdot 8 \cdot 1 = 24 > 0$ (nie należy - zgadza się), $W(-3) = 6 \cdot (-1) \cdot 16 = -96 < 0$ (należy), $W(4) = (-1) \cdot 216 \cdot 9 < 0$ (należy).

Odpowiedź. $x \in (-\infty;\ -2\rangle \cup \{1\} \cup \langle 3;\ +\infty)$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →