Liczby całkowite spełniające (−x² + 4x − 7)(x + 3)(x − 2)²(x − 5) > 0

Krok 1. Czynnik kwadratowy. Dla $-x^2 + 4x - 7$:

$\Delta = 16 - 28 = -12 < 0.$

Trójmian nie ma pierwiastków, a współczynnik przy $x^2$ jest ujemny, więc $-x^2 + 4x - 7 < 0$ dla każdego $x$. Nie wnosi pierwiastków, ale wnosi minus.

Krok 2. Pozbywamy się ujemnego czynnika. Dzielimy obie strony przez liczbę na pewno ujemną, więc zmieniamy zwrot nierówności:

$(x + 3)(x - 2)^2(x - 5) < 0.$

Krok 3. Wężyk. Pierwiastki: $-3$ (pojedynczy), $2$ (podwójny), $5$ (pojedynczy). Wyraz wiodący $x^4$, start nad osią.

Krok 4. Zbiór rozwiązań. Pod osią jest cały przedział $(-3;\ 5)$ z wyjątkiem punktu $2$: tam wielomian się zeruje, a $0 < 0$ to fałsz. Zatem

$x \in (-3;\ 2) \cup (2;\ 5).$

Krok 5. Liczby całkowite. W przedziale $(-3;\ 5)$ leżą liczby całkowite $-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4$. Usuwamy $2$ - zostaje sześć liczb.

Uwaga na dwie pułapki: pominięcie znaku trójmianu (bez zmiany zwrotu wychodzą przedziały dokładnie odwrotne) oraz zostawienie liczby $2$, „bo leży w środku przedziału”.

Odpowiedź. Nierówność spełniają liczby całkowite $-2, -1, 0, 1, 3, 4$ - jest ich sześć.