Nierówność (x + 4)(x − 1)(x − 5) < 0 - metoda wężyka

Krok 1. Pierwiastki. Wielomian jest już rozłożony na czynniki, więc każdy czynnik przyrównujemy do zera:

$x + 4 = 0 \ \Rightarrow\ x = -4, \qquad x - 1 = 0 \ \Rightarrow\ x = 1, \qquad x - 5 = 0 \ \Rightarrow\ x = 5.$

Każdy czynnik występuje raz, więc wszystkie trzy pierwiastki są pojedyncze.

Krok 2. Znak współczynnika wiodącego. Mnożąc same wyrazy z $x$, dostajemy $x \cdot x \cdot x = x^3$, czyli $a_n = 1 > 0$. Wężyk zaczyna po prawej stronie nad osią.

Krok 3. Wężyk. Idziemy od prawej do lewej i w każdym pojedynczym pierwiastku przechodzimy na drugą stronę osi.

Krok 4. Odczyt. Szukamy wartości ujemnych, czyli fragmentów wężyka pod osią. Nierówność jest ostra, więc same pierwiastki (w których wielomian jest równy zeru) odrzucamy.

Krok 5. Sprawdzenie. Dla $x = 2$ (środek przedziału $(1;\ 5)$): $6 \cdot 1 \cdot (-3) = -18 < 0$ - zgadza się. Dla $x = 0$: $4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 20 > 0$, więc $0$ słusznie nie należy do rozwiązania.

Odpowiedź. $x \in (-\infty;\ -4) \cup (1;\ 5)$.