Nierówność 2x³ + x² − 13x + 6 < 0 - pierwiastek i schemat Hornera

Krok 1. Szukamy pierwiastka. Grupowanie tu nie działa ($2x^3 + x^2 = x^2(2x + 1)$, a $-13x + 6$ nie ma czynnika $2x + 1$). Szukamy pierwiastka wymiernego $\tfrac{p}{q}$: $p$ dzieli wyraz wolny $6$, a $q$ dzieli współczynnik wiodący $2$. Kandydaci: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6, \pm\tfrac{1}{2}, \pm\tfrac{3}{2}$. Sprawdzamy:

$W(1) = 2 + 1 - 13 + 6 = -4, \qquad W(-1) = -2 + 1 + 13 + 6 = 18, \qquad W(2) = 16 + 4 - 26 + 6 = 0.$

Liczba $2$ jest pierwiastkiem.

Krok 2. Dzielimy przez $(x - 2)$ schematem Hornera.

Reszta wynosi $0$, a iloraz to $2x^2 + 5x - 3$:

$2x^3 + x^2 - 13x + 6 = (x - 2)(2x^2 + 5x - 3).$

Krok 3. Rozkład trójmianu.

$\Delta = 25 + 24 = 49, \qquad x_1 = \frac{-5 - 7}{4} = -3, \qquad x_2 = \frac{-5 + 7}{4} = \frac{1}{2}.$

Stąd $2x^2 + 5x - 3 = 2(x + 3)\left(x - \tfrac{1}{2}\right) = (x + 3)(2x - 1)$ i

$2x^3 + x^2 - 13x + 6 = (x - 2)(2x - 1)(x + 3).$

Krok 4. Wężyk. Pierwiastki $-3$, $\tfrac{1}{2}$, $2$ są pojedyncze, współczynnik wiodący $2 > 0$ - start nad osią.

Krok 5. Odczyt. Wartości ujemne (pod osią, bez pierwiastków, bo nierówność ostra): $(-\infty;\ -3)$ oraz $\left(\tfrac{1}{2};\ 2\right)$.

Odpowiedź. $x \in (-\infty;\ -3) \cup \left(\tfrac{1}{2};\ 2\right)$.