Nierówność −x³ + x² + 6x ≤ 0 - ujemny współczynnik przy x³

Krok 1. Wyłączamy wspólny czynnik. Każdy wyraz zawiera $x$; wyłączamy $-x$, żeby w nawiasie zostało $x^2$ ze współczynnikiem dodatnim:

$-x^3 + x^2 + 6x = -x(x^2 - x - 6).$

Krok 2. Rozkład trójmianu. Dla $x^2 - x - 6$:

$\Delta = 1 + 24 = 25, \qquad x_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2, \qquad x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3,$

więc $x^2 - x - 6 = (x + 2)(x - 3)$ i nierówność ma postać

$-x(x + 2)(x - 3) \le 0.$

Krok 3. Znak współczynnika wiodącego. Wyraz najwyższego stopnia to $-x^3$, czyli $a_n = -1 < 0$. Wężyk zaczyna po prawej pod osią. Pierwiastki $-2$, $0$, $3$ są pojedyncze.

Krok 4. Odczyt. Szukamy fragmentów pod osią wraz z pierwiastkami (nierówność nieostra): przedział $\langle -2;\ 0\rangle$ i półprosta $\langle 3;\ +\infty)$.

Uwaga: można też pomnożyć nierówność przez $-1$ i rozwiązać $x(x + 2)(x - 3) \ge 0$ - ale wtedy koniecznie ze zmianą zwrotu. Najczęstszy błąd to pominięcie minusa: dostaje się wtedy dokładnie przeciwne przedziały.

Odpowiedź. $x \in \langle -2;\ 0\rangle \cup \langle 3;\ +\infty)$.