Nierówność x³ + 3x² ≤ 4x + 12 - rozkład przez grupowanie

Krok 1. Wszystko na jedną stronę.

$x^3 + 3x^2 - 4x - 12 \le 0.$

Krok 2. Grupowanie wyrazów. Z pierwszej pary wyłączamy $x^2$, z drugiej $-4$:

$x^2(x + 3) - 4(x + 3) = (x + 3)(x^2 - 4) = (x + 3)(x - 2)(x + 2).$

Krok 3. Pierwiastki. $-3$, $-2$, $2$ - wszystkie pojedyncze. Wyraz wiodący $x^3$, więc $a_n = 1 > 0$ i wężyk startuje nad osią.

Krok 4. Odczyt. Szukamy wartości niedodatnich: fragmentów pod osią razem z pierwiastkami. To półprosta $(-\infty;\ -3\rangle$ i przedział $\langle -2;\ 2\rangle$.

Uwaga: kusi, żeby od razu „skrócić” nierówność $x^2(x + 3) \le 4(x + 3)$ przez $(x + 3)$. Nie wolno - znak tego czynnika zależy od $x$, a dla $x = -3$ jest on zerem. Dzielenie dałoby $x^2 \le 4$ i zgubiłoby całą półprostą $(-\infty;\ -3\rangle$.

Odpowiedź. $x \in (-\infty;\ -3\rangle \cup \langle -2;\ 2\rangle$.