Granica ciągu aₙ = (n + 1)/n - od którego wyrazu |aₙ − 1| < 0,001?

Krok 1. Wyrazy. $a_n = \frac{n + 1}{n} = 1 + \frac{1}{n}$, więc

$a_1 = 2, \quad a_2 = 1{,}5, \quad a_{10} = 1{,}1, \quad a_{100} = 1{,}01$

Wyrazy zbliżają się do $1$, a odległość od $1$ wynosi $\frac{1}{n}$ - spada poniżej każdej liczby dodatniej. Granica: $g = 1$.

Krok 2. Nierówność. $|a_n - 1| = \frac{1}{n}$, więc

$\frac{1}{n} < 0{,}001 \iff n > 1000$

Krok 3. Brzeg. Dla $n = 1000$: $|a_{1000} - 1| = 0{,}001$ - nie mniej, więc ten wyraz się nie liczy.

Odpowiedź. a) $a_1 = 2$, $a_2 = 1{,}5$, $a_{10} = 1{,}1$, $a_{100} = 1{,}01$; granica to $1$. b) Od wyrazu $a_{1001}$.