Od którego n wyrazy ciągu (4n − 1)/(2n + 1) różnią się od 2 o mniej niż 0,01?

Krok 1. Różnica. Sprowadzamy do wspólnego mianownika:

$a_n - 2 = \frac{4n - 1 - 2(2n + 1)}{2n + 1} = \frac{-3}{2n + 1}$

Różnica jest ujemna (wyrazy leżą poniżej granicy), więc $|a_n - 2| = \frac{3}{2n + 1}$.

Krok 2. Nierówność.

$\frac{3}{2n + 1} < 0{,}01 \iff 2n + 1 > 300 \iff n > 149{,}5$

Krok 3. Najmniejsze naturalne $n$ większe od $149{,}5$ to $150$. Sprawdzenie: $|a_{149} - 2| = \frac{3}{299} \approx 0{,}01003 > 0{,}01$, a $|a_{150} - 2| = \frac{3}{301} \approx 0{,}00997 < 0{,}01$.

Odpowiedź. $n = 150$.

Uwaga: bez modułu nierówność $\frac{-3}{2n + 1} < 0{,}01$ jest prawdziwa dla każdego $n$ i daje fałszywą odpowiedź „od pierwszego wyrazu”.