Wykaż z definicji, że granicą ciągu 2n/(n + 1) jest 2

Krok 1. Odległość od granicy.

$\left|\frac{2n}{n + 1} - 2\right| = \left|\frac{2n - 2n - 2}{n + 1}\right| = \frac{2}{n + 1}$

Krok 2. Dowolne $\varepsilon > 0$. Szukamy $n$, dla których $\frac{2}{n + 1} < \varepsilon$:

$\frac{2}{n + 1} < \varepsilon \iff n + 1 > \frac{2}{\varepsilon} \iff n > \frac{2}{\varepsilon} - 1$

Krok 3. Wniosek. Jakkolwiek małe jest $\varepsilon$, liczba $\frac{2}{\varepsilon} - 1$ jest skończona, więc istnieje liczba naturalna $N$ od niej większa. Dla wszystkich $n \geq N$ zachodzi $|a_n - 2| < \varepsilon$ - poza otoczeniem zostaje tylko skończenie wiele wyrazów. Z definicji $\lim_{n \to \infty} a_n = 2$, co kończy dowód.

Krok 4. Konkretne $\varepsilon = 0{,}05$. $n > \frac{2}{0{,}05} - 1 = 39$, czyli $n \geq 40$. Sprawdzenie: $\frac{2}{40} = 0{,}05$ (wyraz $a_{39}$ jeszcze nie), $\frac{2}{41} \approx 0{,}0488$.

Odpowiedź. Granica wynosi $2$ (dowód wyżej); dla $\varepsilon = 0{,}05$ - od wyrazu $a_{40}$.