Ile wyrazów ciągu (n − 5)/(n + 5) leży poza otoczeniem (0,98; 1,02)?

Krok 1. Różnica.

$a_n - 1 = \frac{n - 5 - (n + 5)}{n + 5} = \frac{-10}{n + 5}, \qquad |a_n - 1| = \frac{10}{n + 5}$

Wszystkie wyrazy są mniejsze od $1$ - ciąg zbliża się do granicy od dołu.

Krok 2. Granica (a). Dla dowolnego $\varepsilon > 0$:

$\frac{10}{n + 5} < \varepsilon \iff n > \frac{10}{\varepsilon} - 5$

Od pewnego $N$ wszystkie wyrazy leżą w otoczeniu liczby $1$ o promieniu $\varepsilon$, więc $\lim_{n \to \infty} a_n = 1$.

Krok 3. Konkretny przedział (b). $\varepsilon = 0{,}02$:

$\frac{10}{n + 5} < 0{,}02 \iff n + 5 > 500 \iff n > 495$

Krok 4. Liczenie. Poza przedziałem są wyrazy $a_1,\ a_2,\ \ldots,\ a_{495}$ - także $a_{495} = \frac{490}{500} = 0{,}98$, bo leży na brzegu przedziału otwartego.

Odpowiedź. a) Wykazane. b) Poza przedziałem leży $495$ wyrazów.

Uwaga: kilka pierwszych wyrazów jest ujemnych lub równych zeru ($a_1 = -\frac{2}{3}$, $a_5 = 0$), ale to nie zmienia odpowiedzi - wszystkie są wśród tych 495.