Zbieżny czy rozbieżny? Ciągi (−1)ⁿ · n/(n + 1) oraz (−1)ⁿ/n²

Krok 1. Wyrazy ciągu a). $a_1 = -\frac{1}{2}$, $a_2 = \frac{2}{3}$, $a_3 = -\frac{3}{4}$, $a_4 = \frac{4}{5}$, … Wyrazy o numerach parzystych zbliżają się do $1$, a o nieparzystych - do $-1$. Dla każdego $n$:

$|a_n| = \frac{n}{n + 1} \geq \frac{1}{2}$

więc wyrazy parzyste są $\geq \frac{1}{2}$, a nieparzyste $\leq -\frac{1}{2}$.

Krok 2. Ciąg a) jest rozbieżny. Przypuśćmy, że ma granicę $g$. Dla $\varepsilon = \frac{1}{2}$ prawie wszystkie wyrazy leżą w przedziale $\left(g - \frac{1}{2},\ g + \frac{1}{2}\right)$ o długości $1$. Wśród nich jest więc i wyraz parzysty $x \geq \frac{1}{2}$, i nieparzysty $y \leq -\frac{1}{2}$, a te różnią się o co najmniej $1$. W przedziale otwartym o długości $1$ dwie takie liczby się nie zmieszczą - sprzeczność.

Krok 3. Ciąg b). $|b_n - 0| = \frac{1}{n^2} \leq \frac{1}{n}$. Dla dowolnego $\varepsilon > 0$ nierówność $\frac{1}{n^2} < \varepsilon$ zachodzi dla $n > \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}$, czyli dla prawie wszystkich $n$. Zmiana znaku nie przeszkadza - wyrazy po obu stronach zera są coraz bliżej zera.

Odpowiedź. a) Ciąg rozbieżny. b) Ciąg zbieżny, $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$.