Czy 4,9 jest granicą ciągu (5n + 1)/(n + 3)? Jak wykazać, że liczba nie jest granicą

Krok 1. Postać ciągu.

$a_n = \frac{5(n + 3) - 14}{n + 3} = 5 - \frac{14}{n + 3}$

Ułamek $\frac{14}{n + 3}$ maleje, więc ciąg jest rosnący, a wszystkie wyrazy są mniejsze od $5$.

Krok 2. Liczba 4,9 nie jest granicą (a). Wystarczy jedno $\varepsilon$, dla którego poza otoczeniem zostaje nieskończenie wiele wyrazów. Bierzemy $\varepsilon = 0{,}05$, czyli przedział $(4{,}85;\ 4{,}95)$. Wyraz przekracza jego prawy brzeg, gdy

$5 - \frac{14}{n + 3} \geq 4{,}95 \iff \frac{14}{n + 3} \leq 0{,}05 \iff n + 3 \geq 280 \iff n \geq 277$

Wszystkie wyrazy od $a_{277}$ (nieskończenie wiele) leżą poza przedziałem, więc $4{,}9$ nie jest granicą.

Krok 3. Granica (b). $|a_n - 5| = \frac{14}{n + 3}$. Dla dowolnego $\varepsilon > 0$:

$\frac{14}{n + 3} < \varepsilon \iff n > \frac{14}{\varepsilon} - 3$

więc prawie wszystkie wyrazy leżą w każdym otoczeniu liczby $5$.

Odpowiedź. a) Od wyrazu $a_{277}$ wszystkie wyrazy są $\geq 4{,}95$, więc leżą poza otoczeniem $(4{,}85;\ 4{,}95)$ - $4{,}9$ nie jest granicą. b) $\lim_{n \to \infty} a_n = 5$.

Uwaga: to, że kilka wyrazów jest blisko jakiejś liczby, niczego nie przesądza. Ciąg może przez nią „przejść” i podążać dalej do prawdziwej granicy.