Ile wyrazów ciągu aₙ = (3n + 2)/n leży poza przedziałem (2,9; 3,1)?

Krok 1. Odległość od 3.

$a_n = 3 + \frac{2}{n}, \qquad |a_n - 3| = \frac{2}{n}$

Przedział $(2{,}9;\ 3{,}1)$ to otoczenie liczby $3$ o promieniu $0{,}1$.

Krok 2. Wyrazy w przedziale.

$\frac{2}{n} < 0{,}1 \iff n > 20$

Krok 3. Wyrazy poza przedziałem to te o numerach $n = 1,\ 2,\ \ldots,\ 20$. Wyraz $a_{20} = 3{,}1$ leży na brzegu przedziału otwartego, więc też poza nim.

Odpowiedź. Poza przedziałem leży $20$ wyrazów: $a_1,\ \ldots,\ a_{20}$. Wszystkie pozostałe (nieskończenie wiele) są w środku - zgodnie z tym, że $\lim_{n \to \infty} a_n = 3$.