Stożek o największej objętości wpisany w kulę o promieniu 9

Krok 1. Zmienna i związek z promieniem podstawy. Niech $h$ - wysokość stożka, $r$ - promień podstawy. Środek kuli $O$ leży na osi stożka. Gdy $h > 9$, środek jest między wierzchołkiem a podstawą, w odległości $h - 9$ od podstawy (jak na rysunku). Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $r$ i $|h - 9|$ ma przeciwprostokątną $R = 9$, więc

$r^2 = 81 - (h - 9)^2 = 81 - h^2 + 18h - 81 = 18h - h^2.$

Ten sam wzór wychodzi dla $h \leq 9$ (wtedy podstawa leży nad środkiem kuli, ale kwadrat $(h - 9)^2$ jest taki sam). Wysokość jest dodatnia i mniejsza od średnicy, więc $h \in (0;\ 18)$.

Krok 2. Funkcja celu.

$V(h) = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{\pi}{3}\left(18h - h^2\right)h = \frac{\pi}{3}\left(18h^2 - h^3\right), \qquad h \in (0;\ 18).$

Krok 3. Pochodna.

$V'(h) = \frac{\pi}{3}\left(36h - 3h^2\right) = \pi h (12 - h).$

Krok 4. Punkty krytyczne. $V'(h) = 0$ dla $h = 0$ (spoza dziedziny) albo $h = 12$.

Krok 5. Uzasadnienie. W dziedzinie $\pi h > 0$, więc znak $V'$ to znak $12 - h$: dodatni dla $0 < h < 12$ (objętość rośnie), ujemny dla $12 < h < 18$ (maleje). W $h = 12$ objętość jest największa w całej dziedzinie.

Krok 6. Promień i objętość.

$r^2 = 18 \cdot 12 - 144 = 72, \qquad r = \sqrt{72} = 6\sqrt{2},$

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot 72 \cdot 12 = 288\pi \approx 904{,}8.$

Odpowiedź. Stożek o największej objętości ma wysokość $12$ i promień podstawy $6\sqrt{2}$; jego objętość wynosi $288\pi$.

Wniosek. Najlepszy stożek ma wysokość $\frac{4}{3}R$, a jego objętość to $\frac{288\pi}{972\pi} = \frac{8}{27}$ objętości kuli ($V_{\text{kuli}} = \frac{4}{3}\pi \cdot 9^3 = 972\pi$). Wzory na objętości brył są na stronie bryły obrotowe.