Puszka o najmniejszym polu powierzchni przy danej objętości

Krok 1. Zmienne i związek między nimi. Niech $r$ - promień podstawy, $h$ - wysokość (w cm). Z warunku na objętość:

$\pi r^2 h = 250\pi \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{250}{r^2}.$

Krok 2. Funkcja jednej zmiennej. Pole powierzchni całkowitej to dwie podstawy i powierzchnia boczna:

$P = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{250}{r^2} = 2\pi r^2 + \frac{500\pi}{r}.$

Dziedzina: $r > 0$ (wtedy $h > 0$ automatycznie).

Krok 3. Pochodna.

$P'(r) = 4\pi r - \frac{500\pi}{r^2} = \frac{4\pi\left(r^3 - 125\right)}{r^2}.$

Krok 4. Punkt krytyczny. $P'(r) = 0 \iff r^3 = 125 \iff r = 5$.

Krok 5. Uzasadnienie minimum globalnego. Znak $P'$ to znak $r^3 - 125$: dla $0 < r < 5$ pochodna jest ujemna (pole maleje), dla $r > 5$ dodatnia (pole rośnie). Funkcja maleje aż do $r = 5$, potem tylko rośnie, więc w $r = 5$ osiąga wartość najmniejszą w całej dziedzinie.

Krok 6. Wymiary i pole.

$h = \frac{250}{25} = 10, \qquad P(5) = 2\pi \cdot 25 + \frac{500\pi}{5} = 50\pi + 100\pi = 150\pi.$

Wysokość jest równa średnicy podstawy ($h = 2r$) - przekrój osiowy optymalnej puszki jest kwadratem.

Odpowiedź. $r = 5$ cm, $h = 10$ cm; najmniejsze pole powierzchni to $150\pi \approx 471{,}2$ cm².