Najtańsze ogrodzenie działki - optymalizacja kosztu

Krok 1. Zmienne. Niech $x$ - długość boku wzdłuż drogi, $y$ - długość boku prostopadłego (w metrach). Z pola: $xy = 600$, czyli $y = \frac{600}{x}$, przy czym $x > 0$.

Krok 2. Koszt jako funkcja jednej zmiennej. Bok od drogi kosztuje $30x$, bok naprzeciwko $10x$, dwa pozostałe $2 \cdot 10y$:

$K = 30x + 10x + 20y = 40x + \frac{12000}{x}, \qquad x > 0.$

Krok 3. Pochodna.

$K'(x) = 40 - \frac{12000}{x^2} = \frac{40\left(x^2 - 300\right)}{x^2}.$

Krok 4. Punkt krytyczny. $x^2 = 300$, a ponieważ $x > 0$: $x = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \approx 17{,}32$.

Krok 5. Minimum globalne. Dla $0 < x < 10\sqrt{3}$ pochodna jest ujemna (koszt maleje), dla $x > 10\sqrt{3}$ dodatnia (koszt rośnie) - więc to najmniejszy koszt w całej dziedzinie.

Krok 6. Wymiary i koszt.

$y = \frac{600}{10\sqrt{3}} = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3} \approx 34{,}64,$

$K = 40 \cdot 10\sqrt{3} + \frac{12000}{10\sqrt{3}} = 400\sqrt{3} + 400\sqrt{3} = 800\sqrt{3} \approx 1385{,}64.$

Ciekawostka: w optimum oba składniki kosztu są równe ($400\sqrt{3}$ zł) - tak jest zawsze dla funkcji postaci $ax + \frac{b}{x}$.

Odpowiedź. Bok wzdłuż drogi $10\sqrt{3} \approx 17{,}32$ m, drugi bok $20\sqrt{3} \approx 34{,}64$ m; najniższy koszt $800\sqrt{3} \approx 1385{,}64$ zł.