Prostokąt o największym polu wpisany pod parabolę

Krok 1. Symetria i zmienna. Parabola jest symetryczna względem osi $Oy$, więc prostokąt też: jego górne wierzchołki to $(-x,\ 12 - x^2)$ oraz $(x,\ 12 - x^2)$ dla pewnego $x > 0$. Szerokość to $2x$, wysokość $12 - x^2$.

Krok 2. Dziedzina. Wysokość musi być dodatnia: $12 - x^2 > 0$, czyli $x < \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$. Zatem $x \in (0;\ 2\sqrt{3})$.

Krok 3. Funkcja pola.

$P(x) = 2x\left(12 - x^2\right) = 24x - 2x^3.$

Krok 4. Pochodna i punkt krytyczny.

$P'(x) = 24 - 6x^2 = 6(4 - x^2) = 6(2 - x)(2 + x).$

W dziedzinie $P'(x) = 0$ tylko dla $x = 2$ (bo $-2 < 0$).

Krok 5. Maksimum globalne. Dla $0 < x < 2$ mamy $P' > 0$ (pole rośnie), dla $2 < x < 2\sqrt{3}$ mamy $P' < 0$ (pole maleje). W $x = 2$ pole jest więc największe w całej dziedzinie.

Krok 6. Wymiary i pole. Szerokość $2 \cdot 2 = 4$, wysokość $12 - 4 = 8$:

$P(2) = 4 \cdot 8 = 32.$

Odpowiedź. Prostokąt o wymiarach $4 \times 8$ (wierzchołki $(\pm 2, 0)$ i $(\pm 2, 8)$) ma największe pole równe $32$.