Pudełko z blachy o największej objętości - optymalizacja

Krok 1. Zmienna i dziedzina. Niech $x$ oznacza bok wycinanego kwadratu (w cm). Wysokość pudełka to $x$, a dno ma wymiary $(16 - 2x)$ na $(10 - 2x)$. Wszystkie wymiary muszą być dodatnie: $x > 0$ i $10 - 2x > 0$, więc

$x \in (0;\ 5).$

Krok 2. Funkcja celu.

$V(x) = x(16 - 2x)(10 - 2x) = 4x^3 - 52x^2 + 160x.$

Krok 3. Pochodna i punkty krytyczne.

$V'(x) = 12x^2 - 104x + 160 = 4(3x^2 - 26x + 40).$

$\Delta = 26^2 - 4 \cdot 3 \cdot 40 = 676 - 480 = 196$, $\sqrt{\Delta} = 14$, więc

$x_1 = \frac{26 - 14}{6} = 2, \qquad x_2 = \frac{26 + 14}{6} = \frac{20}{3}.$

Liczba $\frac{20}{3} \approx 6{,}67$ nie należy do dziedziny - odpada.

Krok 4. Czy to na pewno maksimum (globalne)? $V'(x) = 12(x - 2)\left(x - \frac{20}{3}\right)$. W przedziale $(0;\ 2)$ oba nawiasy są ujemne, więc $V' > 0$ i objętość rośnie; w $(2;\ 5)$ pierwszy nawias jest dodatni, drugi ujemny, więc $V' < 0$ i objętość maleje. Funkcja rośnie aż do $x = 2$, a potem już tylko maleje - w $x = 2$ ma wartość największą w całej dziedzinie.

Krok 5. Objętość.

$V(2) = 2 \cdot (16 - 4) \cdot (10 - 4) = 2 \cdot 12 \cdot 6 = 144.$

Odpowiedź. Bok wycinanych kwadratów: $2$ cm; największa objętość pudełka: $144$ cm³.