Punkt paraboli położony najbliżej danego punktu

Krok 1. Odległość jako funkcja jednej zmiennej. Dowolny punkt paraboli to $P(x, x^2)$. Ze wzoru na odległość punktów:

$$|AP| = \sqrt{(x - 3)^2 + \left(x^2\right)^2}.$$

Krok 2. Pozbywamy się pierwiastka. Pierwiastek jest funkcją rosnącą, więc $|AP|$ jest najmniejsze dokładnie wtedy, gdy najmniejszy jest kwadrat odległości:

$$g(x) = (x - 3)^2 + x^4, \qquad x \in \mathbb{R}.$$

Krok 3. Pochodna.

$$g'(x) = 2(x - 3) + 4x^3 = 4x^3 + 2x - 6 = 2\left(2x^3 + x - 3\right).$$

Krok 4. Miejsce zerowe. Liczba $1$ jest pierwiastkiem: $2 + 1 - 3 = 0$. Dzielimy przez $(x - 1)$:

$$2x^3 + x - 3 = (x - 1)\left(2x^2 + 2x + 3\right).$$

Trójmian $2x^2 + 2x + 3$ ma $\Delta = 4 - 24 < 0$ i jest zawsze dodatni, więc jedynym punktem krytycznym jest $x = 1$.

Krok 5. Minimum globalne. Znak $g'$ to znak $(x - 1)$: dla $x < 1$ funkcja maleje, dla $x > 1$ rośnie. Zatem w $x = 1$ ma wartość najmniejszą na całej prostej:

$$g(1) = (1 - 3)^2 + 1 = 5, \qquad |AP| = \sqrt{5}.$$

Krok 6. Kontrola geometryczna. W punkcie $P(1, 1)$ styczna do paraboli ma nachylenie $2$, a prosta $AP$ ma nachylenie $\frac{1 - 0}{1 - 3} = -\frac{1}{2}$. Iloczyn nachyleń to $-1$ - najkrótszy odcinek jest prostopadły do stycznej, tak jak powinien.

Odpowiedź. Punkt $P(1, 1)$; odległość $|AP| = \sqrt{5}$.