Największy iloczyn x²·y liczb dodatnich o sumie 12

Krok 1. Zmienna i dziedzina. Z warunku $y = 12 - x$. Obie liczby mają być dodatnie: $x > 0$ i $12 - x > 0$, więc $x \in (0;\ 12)$.

Krok 2. Funkcja celu. Wyrażenie zależy teraz od jednej zmiennej:

$f(x) = x^2 (12 - x) = 12x^2 - x^3, \qquad x \in (0;\ 12).$

To wielomian trzeciego stopnia - wierzchołek paraboli tu nie pomoże, potrzebna jest pochodna.

Krok 3. Pochodna.

$f'(x) = 24x - 3x^2 = 3x(8 - x).$

Krok 4. Punkty krytyczne. $f'(x) = 0$ dla $x = 0$ albo $x = 8$. Liczba $0$ nie należy do dziedziny, zostaje $x = 8$.

Krok 5. Uzasadnienie. Dla $x \in (0;\ 12)$ czynnik $3x$ jest dodatni, więc znak $f'$ to znak $8 - x$: dodatni dla $0 < x < 8$ (funkcja rośnie), ujemny dla $8 < x < 12$ (maleje). Funkcja rośnie aż do $x = 8$, a potem tylko maleje, więc w $x = 8$ ma wartość największą w całej dziedzinie:

$y = 12 - 8 = 4, \qquad f(8) = 64 \cdot 4 = 256.$

Odpowiedź. Wyrażenie $x^2 y$ jest największe dla $x = 8$ i $y = 4$; jego największa wartość to $256$.

Pułapka. Intuicja „najlepiej podzielić po równo” tu zawodzi: dla $x = y = 6$ mamy tylko $36 \cdot 6 = 216$. Liczba $x$ występuje w kwadracie, więc opłaca się jej dać więcej - dokładnie dwa razy więcej niż $y$.