Pudełko bez pokrywy o objętości 108 dm³ i najmniejszym polu

Krok 1. Zmienne i związek między nimi. Niech $x$ - bok kwadratowego dna, $h$ - wysokość (w dm). Z objętości:

$x^2 h = 108 \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{108}{x^2}, \qquad x > 0.$

Krok 2. Funkcja celu. Pudełko nie ma pokrywy, więc składa się z jednego kwadratowego dna i czterech ścian bocznych $x \times h$:

$P(x) = x^2 + 4xh = x^2 + 4x \cdot \frac{108}{x^2} = x^2 + \frac{432}{x}, \qquad x \in (0;\ +\infty).$

Krok 3. Pochodna.

$P'(x) = 2x - \frac{432}{x^2} = \frac{2x^3 - 432}{x^2} = \frac{2\left(x^3 - 216\right)}{x^2}.$

Krok 4. Punkt krytyczny. $P'(x) = 0 \iff x^3 = 216 \iff x = 6$.

Krok 5. Uzasadnienie. Mianownik $x^2$ jest dodatni, więc znak $P'$ to znak $x^3 - 216$: ujemny dla $0 < x < 6$ (pole maleje) i dodatni dla $x > 6$ (pole rośnie). Funkcja maleje aż do $x = 6$, a potem już tylko rośnie, więc w $x = 6$ ma wartość najmniejszą w całej dziedzinie.

Krok 6. Wymiary i pole.

$h = \frac{108}{36} = 3, \qquad P(6) = 36 + \frac{432}{6} = 36 + 72 = 108.$

Sprawdzenie z rozpisania ścian: dno $6 \cdot 6 = 36$, cztery ściany $4 \cdot 6 \cdot 3 = 72$, razem $108$ dm². Dla porównania $P(3) = 153$ i $P(9) = 129$ - oba większe.

Odpowiedź. Dno $6 \times 6$ dm, wysokość $3$ dm; zużyje się wtedy $108$ dm² materiału.

Uwaga. Pudełko z pokrywą o najmniejszym polu jest sześcianem. Bez pokrywy optimum jest inne: wysokość wynosi połowę boku dna ($h = \frac{x}{2}$), bo brakująca ściana „przesuwa” opłacalność w stronę niższych, szerszych pudełek.