Równanie stycznej do wykresu wielomianu w punkcie

Krok 1. Wzór na styczną. Styczna w punkcie $(x_0, f(x_0))$ ma nachylenie $f'(x_0)$:

$$y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0).$$

Potrzebujemy więc dwóch liczb: $f(x_0)$ i $f'(x_0)$.

Krok 2. Wartość funkcji.

$$f(1) = 1 - 2 + 1 = 0.$$

Punkt styczności to $(1, 0)$.

Krok 3. Pochodna i jej wartość.

$$f'(x) = 3x^2 - 2, \qquad f'(1) = 3 - 2 = 1.$$

Krok 4. Podstawiamy do wzoru.

$$y = 1 \cdot (x - 1) + 0 = x - 1.$$

Krok 5. Sprawdzenie. Punkt $(1, 0)$ leży na prostej $y = x - 1$, a jej współczynnik kierunkowy $1$ jest równy $f'(1)$ - oba warunki styczności są spełnione.

Odpowiedź. $y = x - 1$.