Styczne do paraboli przechodzące przez punkt spoza wykresu

Krok 1. Punkt $P$ nie leży na wykresie. $f(1) = 2 \ne -2$. Nie możemy więc wziąć $x_0 = 1$ - nie wiemy, gdzie leżą punkty styczności. Oznaczamy odciętą punktu styczności przez $a$.

Krok 2. Styczna w punkcie o odciętej $a$. $f(a) = a^2 + 1$, $f'(x) = 2x$, więc $f'(a) = 2a$:

$y = 2a(x - a) + a^2 + 1 = 2ax - a^2 + 1.$

Krok 3. Styczna ma przejść przez $P(1, -2)$. Podstawiamy $x = 1$, $y = -2$:

$-2 = 2a - a^2 + 1 \iff a^2 - 2a - 3 = 0 \iff (a - 3)(a + 1) = 0.$

Są dwa punkty styczności: $a = 3$ oraz $a = -1$.

Krok 4. Równania stycznych. Podstawiamy każde $a$ do wzoru z kroku 2:

$a = 3: \quad y = 6x - 9 + 1 = 6x - 8, \qquad a = -1: \quad y = -2x - 1 + 1 = -2x.$

Krok 5. Sprawdzenie. Dla $x = 1$: $6 - 8 = -2$ oraz $-2 \cdot 1 = -2$ - obie proste przechodzą przez $P$. Punkty styczności to $A(3, 10)$ i $B(-1, 2)$; na przykład $f'(3) = 6$ zgadza się z nachyleniem pierwszej prostej.

Krok 6. Dlaczego dwie? Z punktu leżącego „pod” parabolą wypukłą da się poprowadzić dwie styczne, z punktu „nad” nią (wewnątrz) - żadnej, a z punktu na wykresie - dokładnie jedną. Algebraicznie odpowiada to znakowi wyróżnika równania z kroku 3.

Odpowiedź. $y = 6x - 8$ oraz $y = -2x$.