Dwie styczne do wykresu wielomianu równoległe do prostej

Szkoła średnia średnie

Wyznacz równania wszystkich stycznych do wykresu funkcji $f(x) = x^3 - 3x^2$ , które są równoległe do prostej $y = 9x + 1$ .

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Warunek równoległości. Styczna ma mieć współczynnik kierunkowy $9$ , czyli szukamy wszystkich $x_0$ , dla których $f'(x_0) = 9$ .

Krok 2. Pochodna i równanie.

$f'(x) = 3x^2 - 6x, \qquad 3x^2 - 6x = 9 \iff x^2 - 2x - 3 = 0 \iff (x - 3)(x + 1) = 0.$

Są dwa punkty styczności: $x_0 = 3$ oraz $x_0 = -1$ . Wielomian trzeciego stopnia ma pochodną kwadratową, więc takich stycznych może być nawet dwie.

Krok 3. Styczna w $x_0 = 3$ . $f(3) = 27 - 27 = 0$ :

$y = 9(x - 3) + 0 = 9x - 27.$

Krok 4. Styczna w $x_0 = -1$ . $f(-1) = -1 - 3 = -4$ :

$y = 9(x + 1) - 4 = 9x + 5.$

Krok 5. Sprawdzenie. Obie proste mają nachylenie $9$ i żadna nie pokrywa się z $y = 9x + 1$ , więc obie są do niej równoległe.

Odpowiedź. $y = 9x - 27$ oraz $y = 9x + 5$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →