Styczna do paraboli równoległa do danej prostej

Krok 1. Co oznacza równoległość. Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy, więc szukana styczna ma nachylenie $2$. Nachylenie stycznej w punkcie $x_0$ to $f'(x_0)$, zatem szukamy $x_0$ spełniającego $f'(x_0) = 2$.

Krok 2. Pochodna i równanie.

$f'(x) = 2x - 4, \qquad 2x_0 - 4 = 2 \quad\Longrightarrow\quad x_0 = 3.$

Krok 3. Punkt styczności.

$f(3) = 9 - 12 + 5 = 2.$

Krok 4. Równanie stycznej.

$y = 2(x - 3) + 2 = 2x - 4.$

Krok 5. Sprawdzenie. Prosta $y = 2x - 4$ jest różna od $y = 2x - 7$ (inny wyraz wolny), więc to rzeczywiście prosta równoległa, a nie ta sama. Układ $x^2 - 4x + 5 = 2x - 4$, czyli $(x - 3)^2 = 0$, ma jedno (podwójne) rozwiązanie - prosta dotyka paraboli w jednym punkcie.

Odpowiedź. $y = 2x - 4$ (punkt styczności $(3, 2)$).