Styczna do wykresu funkcji wymiernej w punkcie

Krok 1. Wartość funkcji. $x_0 = 3$ należy do dziedziny ($x \ne 1$):

$f(3) = \frac{3 + 1}{3 - 1} = 2.$

Punkt styczności to $(3, 2)$.

Krok 2. Pochodna ze wzoru na iloraz. $u = x + 1$, $v = x - 1$, $u' = v' = 1$:

$f'(x) = \frac{1 \cdot (x - 1) - (x + 1) \cdot 1}{(x - 1)^2} = \frac{-2}{(x - 1)^2}.$

Krok 3. Nachylenie stycznej.

$f'(3) = \frac{-2}{2^2} = -\frac{1}{2}.$

Krok 4. Równanie stycznej.

$y = -\frac{1}{2}(x - 3) + 2 = -\frac{1}{2}x + \frac{3}{2} + 2 = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}.$

Krok 5. Sprawdzenie. Dla $x = 3$: $-\frac{3}{2} + \frac{7}{2} = 2$ - prosta przechodzi przez punkt styczności.

Odpowiedź. $y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2}$.