Pudełko z kwadratowego kartonu 18 cm o objętości 400 cm³

Krok 1. Model i warunki. Niech $x$ - bok wyciętego kwadratu (w cm). Dno pudełka jest kwadratem o boku $18 - 2x$, a wysokość wynosi $x$. Oba wymiary muszą być dodatnie:

$x > 0 \quad \text{oraz} \quad 18 - 2x > 0 \quad\Longrightarrow\quad 0 < x < 9.$

Krok 2. Równanie. Objętość to pole dna razy wysokość. Wyłączamy dwójkę z nawiasu:

$x(18 - 2x)^2 = 400 \quad\Longrightarrow\quad 4x(9 - x)^2 = 400 \quad\Longrightarrow\quad x(9 - x)^2 = 100.$

Po wymnożeniu $x(81 - 18x + x^2) = 100$, czyli

$x^3 - 18x^2 + 81x - 100 = 0.$

Krok 3. Pierwiastek wśród dzielników $100$. $W(1) = 1 - 18 + 81 - 100 = -36$, $W(2) = 8 - 72 + 162 - 100 = -2$, $W(4) = 64 - 288 + 324 - 100 = 0$. Schemat Hornera:

$(x - 4)(x^2 - 14x + 25) = 0.$

Krok 4. Trójmian:

$\Delta = 196 - 100 = 96, \qquad \sqrt{96} = 4\sqrt{6}, \qquad x = 7 - 2\sqrt{6} \approx 2{,}10, \qquad x = 7 + 2\sqrt{6} \approx 11{,}90.$

Krok 5. Selekcja. Warunek $0 < x < 9$ spełniają $x = 4$ i $x = 7 - 2\sqrt{6}$. Liczba $7 + 2\sqrt{6} \approx 11{,}9$ odpada - dno miałoby ujemny bok $18 - 2x \approx -5{,}8$.

Uwaga. Zadanie ma dwie odpowiedzi - wyższe pudełko z małym dnem i niskie z dużym. Podanie tylko $x = 4$ (bo „ładnie wyszło”) to odpowiedź niepełna.

Odpowiedź. Kwadraty mogą mieć bok $4\ \text{cm}$ albo $(7 - 2\sqrt{6})\ \text{cm} \approx 2{,}10\ \text{cm}$.