Prostopadłościan o podstawie kwadratowej: suma krawędzi 48, objętość 54

Krok 1. Oznaczenia. Niech $a$ - krawędź podstawy, $h$ - wysokość; $a > 0$, $h > 0$. Prostopadłościan ma $8$ krawędzi podstaw i $4$ krawędzie boczne:

$8a + 4h = 48 \quad\Longrightarrow\quad h = 12 - 2a.$

Z warunku $h > 0$ wynika $a < 6$, więc $0 < a < 6$.

Krok 2. Równanie z objętości.

$a^2 h = 54 \quad\Longrightarrow\quad a^2(12 - 2a) = 54 \quad\Longrightarrow\quad 12a^2 - 2a^3 = 54.$

Dzielimy przez $-2$ i porządkujemy:

$a^3 - 6a^2 + 27 = 0.$

Krok 3. Pierwiastek wśród dzielników $27$. $\ W(1) = 22$, $\ W(3) = 27 - 54 + 27 = 0$. Schemat Hornera (współczynnik przy $a$ to $0$):

$(a - 3)(a^2 - 3a - 9) = 0.$

Krok 4. Trójmian:

$\Delta = 9 + 36 = 45, \qquad \sqrt{45} = 3\sqrt{5}, \qquad a = \frac{3 - 3\sqrt{5}}{2} \approx -1{,}85, \qquad a = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{2} \approx 4{,}85.$

Krok 5. Selekcja. Warunek $0 < a < 6$ spełniają $a = 3$ oraz $a = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{2}$. Ujemny pierwiastek odrzucamy. Dla każdego dobrego $a$ liczymy wysokość:

$a = 3: \quad h = 12 - 6 = 6, \qquad a = \frac{3 + 3\sqrt{5}}{2}: \quad h = 12 - (3 + 3\sqrt{5}) = 9 - 3\sqrt{5} \approx 2{,}29.$

Krok 6. Sprawdzenie drugiego rozwiązania (pierwsze: $3 \cdot 3 \cdot 6 = 54$):

$a^2 = \frac{9(1 + \sqrt{5})^2}{4} = \frac{9(6 + 2\sqrt{5})}{4}, \qquad a^2 h = \frac{9(6 + 2\sqrt{5}) \cdot 3(3 - \sqrt{5})}{4} = \frac{27(18 - 6\sqrt{5} + 6\sqrt{5} - 10)}{4} = \frac{27 \cdot 8}{4} = 54.$

Uwaga. Kto po znalezieniu $a = 3$ kończy zadanie, gubi drugi prostopadłościan. Zawsze trzeba podzielić wielomian i sprawdzić, czy iloraz nie daje kolejnych pierwiastków w dziedzinie.

Odpowiedź. Są dwa takie prostopadłościany: $3 \times 3 \times 6$ oraz $\frac{3 + 3\sqrt{5}}{2} \times \frac{3 + 3\sqrt{5}}{2} \times (9 - 3\sqrt{5})$ (w przybliżeniu $4{,}85 \times 4{,}85 \times 2{,}29$).