Pudełko z kartonu 12 × 12 cm: czy objętość może wynosić 128 cm³, a 150 cm³?

Krok 1. Model i warunki. Niech $x$ - bok wyciętego kwadratu (w cm). Dno jest kwadratem o boku $12 - 2x$, wysokość to $x$, więc

$V(x) = x(12 - 2x)^2 = 4x(6 - x)^2, \qquad 0 < x < 6.$

Krok 2. a) Równanie.

$4x(6 - x)^2 = 128 \quad\Longrightarrow\quad x(6 - x)^2 = 32 \quad\Longrightarrow\quad x^3 - 12x^2 + 36x - 32 = 0.$

Krok 3. a) Rozkład. $W(2) = 8 - 48 + 72 - 32 = 0$. Schemat Hornera:

Iloraz $x^2 - 10x + 16 = (x - 2)(x - 8)$, zatem

$x^3 - 12x^2 + 36x - 32 = (x - 2)^2(x - 8).$

Krok 4. a) Selekcja. Pierwiastki: $x = 2$ (dwukrotny) oraz $x = 8$. Warunek $0 < x < 6$ spełnia tylko $x = 2$ - przy $x = 8$ z kartonu o boku $12$ nie da się wyciąć dwóch kwadratów o boku $8$. Pudełko: dno $8 \times 8$, wysokość $2$, objętość $8 \cdot 8 \cdot 2 = 128$.

Krok 5. b) Porównujemy dowolną objętość ze $128$. Z kroku 3:

$V(x) - 128 = 4\left(x^3 - 12x^2 + 36x - 32\right) = 4(x - 2)^2(x - 8).$

Dla $0 < x < 6$ czynnik $(x - 2)^2$ jest nieujemny, a $(x - 8)$ - ujemny. Iloczyn jest więc niedodatni:

$V(x) - 128 \leq 0 \quad\Longrightarrow\quad V(x) \leq 128.$

Żadne pudełko z tego kartonu nie ma objętości większej niż $128\ \text{cm}^3$, więc $150\ \text{cm}^3$ jest nieosiągalne.

Uwaga. Pierwiastek dwukrotny w części a) nie jest przypadkiem. Objętość $128$ to największa możliwa objętość - wykres $V(x)$ tylko dotyka poziomu $128$ w $x = 2$, zamiast go przecinać. Dlatego to równanie ma w dziedzinie jedno rozwiązanie, a nie dwa.

Odpowiedź. a) Bok wyciętych kwadratów musi mieć $2\ \text{cm}$. b) Nie - największa możliwa objętość wynosi $128\ \text{cm}^3$.