Sześcian powiększony: krawędź dłuższa o 3 cm, objętość większa o 117 cm³

Krok 1. Model i warunek. Niech $x$ - krawędź początkowego sześcianu (w cm), $x > 0$. Nowa krawędź to $x + 3$.

Krok 2. Równanie. Różnica objętości wynosi $117$:

$(x + 3)^3 - x^3 = 117.$

Krok 3. Sześcian sumy. Ze wzoru $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$:

$(x + 3)^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27.$

Krok 4. Wyraz $x^3$ się skraca:

$x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x^3 = 117 \quad\Longrightarrow\quad 9x^2 + 27x - 90 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 3x - 10 = 0.$

Równanie, które wyglądało na trzeciego stopnia, okazało się kwadratowe.

Krok 5. Rozwiązujemy i wybieramy:

$\Delta = 9 + 40 = 49, \qquad x = \frac{-3 - 7}{2} = -5, \qquad x = \frac{-3 + 7}{2} = 2.$

Krawędź nie może być ujemna, więc $x = -5$ odrzucamy.

Sprawdzenie. $5^3 - 2^3 = 125 - 8 = 117$.

Uwaga. Błąd $(x + 3)^3 = x^3 + 27$ prowadzi do równania $27 = 117$, czyli „sprzeczności”. W sześcianie sumy są jeszcze dwa wyrazy środkowe: $3a^2b$ i $3ab^2$.

Odpowiedź. Krawędź początkowego sześcianu ma długość $2\ \text{cm}$.