Prostopadłościan o objętości 140 cm³ - krawędzie x, x + 1, x + 3

Krok 1. Model i warunek. Najkrótsza krawędź to $x$ (w cm), $x > 0$. Pozostałe mają długości $x + 1$ i $x + 3$.

Krok 2. Równanie.

$x(x + 1)(x + 3) = 140.$

Ponieważ $(x + 1)(x + 3) = x^2 + 4x + 3$, otrzymujemy

$x^3 + 4x^2 + 3x - 140 = 0.$

Krok 3. Zgadujemy pierwiastek. Gdyby krawędzie były równe, miałyby około $\sqrt[3]{140} \approx 5{,}2$, a najkrótsza musi być mniejsza. Sprawdzamy dzielnik $4$ liczby $140$:

$4^3 + 4 \cdot 4^2 + 3 \cdot 4 - 140 = 64 + 64 + 12 - 140 = 0.$

Krok 4. Schemat Hornera dla $x = 4$:

$(x - 4)(x^2 + 8x + 35) = 0, \qquad \Delta = 64 - 140 = -76 < 0.$

Jedynym rozwiązaniem jest $x = 4$, a krawędzie mają długości $4$, $5$ i $7\ \text{cm}$ (sprawdzenie: $4 \cdot 5 \cdot 7 = 140$).

Krok 5. Pole powierzchni całkowitej - trzy pary jednakowych ścian:

$P = 2(4 \cdot 5 + 4 \cdot 7 + 5 \cdot 7) = 2(20 + 28 + 35) = 2 \cdot 83 = 166.$

Odpowiedź. Krawędzie mają długości $4\ \text{cm}$, $5\ \text{cm}$ i $7\ \text{cm}$, a pole powierzchni całkowitej wynosi $166\ \text{cm}^2$.