Procent składany przez 3 lata: dwie wpłaty, 9075 zł na koncie

Krok 1. Model. Niech $q = 1 + \frac{p}{100}$ - przez tyle mnoży się kapitał w ciągu roku. Warunek: $q > 1$. Pierwsza wpłata pracuje trzy lata, druga - dwa:

$5000q^3 + 2000q^2 = 9075.$

Krok 2. Liczby całkowite zamiast ułamków. Szukane $q$ będzie ułamkiem dziesiętnym, więc podstawiamy $q = \frac{s}{10}$:

$5000 \cdot \frac{s^3}{1000} + 2000 \cdot \frac{s^2}{100} = 9075 \quad\Longrightarrow\quad 5s^3 + 20s^2 = 9075 \quad\Longrightarrow\quad s^3 + 4s^2 - 1815 = 0.$

Krok 3. Szukamy pierwiastka. Skoro $q > 1$, to $s > 10$. Dla $s = 10$: $1000 + 400 = 1400$ - za mało. Dla $s = 11$ (dzielnik $1815 = 3 \cdot 5 \cdot 11^2$):

$11^3 + 4 \cdot 11^2 - 1815 = 1331 + 484 - 1815 = 0.$

Krok 4. Innych rozwiązań nie ma. Schemat Hornera dla $s = 11$:

$(s - 11)(s^2 + 15s + 165) = 0, \qquad \Delta = 225 - 660 = -435 < 0.$

Krok 5. Wracamy do $q$ i $p$. $s = 11$, więc $q = 1{,}1$ i $\frac{p}{100} = 0{,}1$, czyli $p = 10$.

Sprawdzenie. $5000 \cdot 1{,}331 + 2000 \cdot 1{,}21 = 6655 + 2420 = 9075$ zł.

Uwaga. Druga wpłata pracuje dwa lata, a nie trzy - wpłacono ją rok później. Model $7000q^3 = 9075$ jest błędny.

Odpowiedź. Oprocentowanie lokaty wynosi $p = 10\%$ w skali roku.