Niezależność dopełnień - żadne z dwóch zdarzeń nie zajdzie

Krok 1. Punkt a) - prawo de Morgana. „Nie zaszło ani $A$, ani $B$” to dopełnienie sumy: $A' \cap B' = (A \cup B)'$. Stąd, korzystając z niezależności $A$ i $B$:

$P(A' \cap B') = 1 - P(A \cup B) = 1 - P(A) - P(B) + P(A) P(B) = (1 - P(A))(1 - P(B)) = P(A') \cdot P(B').$

To jest dokładnie definicja niezależności $A'$ i $B'$, co kończy dowód.

Krok 2. Punkt b). $P(A') = 0{,}7$, $P(B') = 0{,}4$, więc

$P(A' \cap B') = 0{,}7 \cdot 0{,}4 = 0{,}28, \qquad P(A \cup B) = 1 - 0{,}28 = 0{,}72.$

Krok 3. Punkt c). „Dokładnie jedno” to dwa rozłączne przypadki: $A$ bez $B$ albo $B$ bez $A$. Pary $(A, B')$ i $(A', B)$ są również niezależne, więc

$P = 0{,}3 \cdot 0{,}4 + 0{,}7 \cdot 0{,}6 = 0{,}12 + 0{,}42 = 0{,}54.$

Kontrola: „żadne” $0{,}28$ + „dokładnie jedno” $0{,}54$ + „oba” $0{,}3 \cdot 0{,}6 = 0{,}18$ daje $1$.

Pułapka. Liczenie „co najmniej jedno” jako $0{,}3 + 0{,}6 = 0{,}9$ dwa razy uwzględnia sytuację, w której zachodzą oba zdarzenia. Przez zdarzenie przeciwne jest najkrócej.

Odpowiedź. b) $P(A' \cap B') = 0{,}28$, $P(A \cup B) = 0{,}72$; c) $0{,}54$.