Trzech strzelców - prawdopodobieństwo, że co najmniej jeden trafi

Szkoła średnia średnie

Trzech strzelców oddaje po jednym strzale do tarczy, niezależnie od siebie. Pierwszy trafia z prawdopodobieństwem $0{,}6$ , drugi - $0{,}5$ , trzeci - $0{,}3$ . Oblicz prawdopodobieństwo, że:

a) tarcza zostanie trafiona co najmniej raz;

b) trafią wszyscy trzej;

c) trafi dokładnie jeden strzelec.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Oznaczenia. $T_1, T_2, T_3$ - trafienie kolejnych strzelców; zdarzenia są niezależne, więc niezależne są też ich dopełnienia (chybienia):

$P(T_1') = 0{,}4, \qquad P(T_2') = 0{,}5, \qquad P(T_3') = 0{,}7.$

Krok 2. Punkt a) - przez zdarzenie przeciwne. „Co najmniej jeden trafi” jest przeciwne do „wszyscy chybią”:

$P = 1 - 0{,}4 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}7 = 1 - 0{,}14 = 0{,}86.$

Krok 3. Punkt b). Z niezależności mnożymy:

$P(T_1 \cap T_2 \cap T_3) = 0{,}6 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}3 = 0{,}09.$

Krok 4. Punkt c). Trzy rozłączne przypadki - trafia tylko pierwszy, tylko drugi albo tylko trzeci:

$P = 0{,}6 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}7 + 0{,}4 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}7 + 0{,}4 \cdot 0{,}5 \cdot 0{,}3 = 0{,}21 + 0{,}14 + 0{,}06 = 0{,}41.$

Pułapka. Suma $0{,}6 + 0{,}5 + 0{,}3 = 1{,}4$ nie może być prawdopodobieństwem - dodawanie działa tylko dla zdarzeń rozłącznych, a trafienia różnych strzelców mogą zajść jednocześnie.

Odpowiedź. a) $0{,}86$ ; b) $0{,}09$ ; c) $0{,}41$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →