Zdarzenia niezależne - oblicz P(B), gdy dane są P(A) i P(A ∪ B)

Krok 1. Wzór na sumę z niezależnością. Zawsze $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$, a dla zdarzeń niezależnych $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. Oznaczmy $p = P(B)$:

$0{,}7 = 0{,}4 + p - 0{,}4p.$

Krok 2. Rozwiązujemy równanie.

$0{,}7 - 0{,}4 = 0{,}6p \quad \Longrightarrow \quad p = \frac{0{,}3}{0{,}6} = \frac{1}{2}.$

Krok 3. Sprawdzenie. $P(A \cap B) = 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2$ i $P(A \cup B) = 0{,}4 + 0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}7$ - zgadza się.

Krok 4. Punkt b). $A \setminus B$ to „zaszło $A$, a nie zaszło $B$”:

$P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B) = 0{,}4 - 0{,}2 = 0{,}2.$

(Inaczej: $A$ i $B'$ też są niezależne, więc $P(A \cap B') = 0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2$.)

Pułapka. Odpowiedź $P(B) = 0{,}3$ powstaje z wzoru $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$, który jest prawdziwy tylko dla zdarzeń rozłącznych. Niezależne zdarzenia o dodatnich prawdopodobieństwach rozłączne nie są.

Odpowiedź. a) $P(B) = \dfrac{1}{2}$; b) $P(A \setminus B) = 0{,}2$.