Czy zdarzenia są niezależne? Rzut kostką - liczba parzysta i podzielna przez 3

Krok 1. Definicja. Zdarzenia $A$ i $B$ są niezależne, gdy

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B).$

Krok 2. Zdarzenia A i B. $\Omega = \{1, \ldots, 6\}$, $A = \{2, 4, 6\}$, $B = \{3, 6\}$, $A \cap B = \{6\}$.

$P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{6} \cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{6}, \qquad P(A \cap B) = \frac{1}{6}.$

Liczby są równe, więc $A$ i $B$ są niezależne. Sens: wśród liczb parzystych ($2, 4, 6$) podzielna przez $3$ jest jedna trzecia - tak samo jak wśród wszystkich wyników.

Krok 3. Zdarzenia A i C. $C = \{4, 5, 6\}$, $A \cap C = \{4, 6\}$.

$P(A) \cdot P(C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}, \qquad P(A \cap C) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.$

$\tfrac{1}{3} \ne \tfrac{1}{4}$, więc $A$ i $C$ są zależne: wiedza, że wypadło parzyście, zwiększa szansę na wynik większy od $3$ (z $\tfrac{1}{2}$ do $\tfrac{2}{3}$).

Pułapka. Niezależność nie oznacza, że zdarzenia „nie mają wspólnych wyników”. $A$ i $B$ mają wspólny wynik $6$, a są niezależne. Rozstrzyga wyłącznie rachunek.

Odpowiedź. $A$ i $B$ są niezależne; $A$ i $C$ są zależne.