Zdarzenia wykluczające się a niezależne - czy to to samo?

Krok 1. Punkt a). Zdarzenia rozłączne nie mają wspólnych wyników, więc $P(A \cap B) = 0$ i

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0{,}3 + 0{,}4 = 0{,}7.$

Krok 2. Punkt b) - definicja niezależności.

$P(A) \cdot P(B) = 0{,}3 \cdot 0{,}4 = 0{,}12, \qquad P(A \cap B) = 0.$

$0 \ne 0{,}12$, więc zdarzenia $A$ i $B$ nie są niezależne.

Krok 3. Dlaczego to musi tak wyjść. Jeśli zaszło $A$, to na pewno nie zaszło $B$, czyli $P(B \mid A) = 0$, chociaż $P(B) = 0{,}4$. Informacja o $A$ zmienia szansę $B$ radykalnie - to najsilniejsza możliwa zależność. Ogólnie: dwa zdarzenia rozłączne o dodatnich prawdopodobieństwach nigdy nie są niezależne, bo $P(A) \cdot P(B) > 0 = P(A \cap B)$.

Pułapka. Potoczne „te zdarzenia nie mają ze sobą nic wspólnego” bywa rozumiane jako niezależność. W rachunku prawdopodobieństwa „nic wspólnego” (rozłączność) i „niezależność” to różne, a dla zdarzeń możliwych - wręcz wykluczające się własności.

Odpowiedź. a) $P(A \cup B) = 0{,}7$; b) nie, zdarzenia są zależne.