Dwie kostki - czy suma oczek 7 nie zależy od pierwszego rzutu?

Krok 1. Przestrzeń. $|\Omega| = 36$ (pary wyników). $|C| = 6$, więc $P(C) = \tfrac{1}{6}$.

Krok 2. Suma 7. $S_7 = \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1)\}$, czyli $P(S_7) = \tfrac{6}{36} = \tfrac{1}{6}$. Część wspólna z $C$ to tylko $(4,3)$:

$P(C \cap S_7) = \frac{1}{36} = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = P(C) \cdot P(S_7).$

Zdarzenia $C$ i $S_7$ są niezależne.

Krok 3. Suma 8. $S_8 = \{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\}$, $P(S_8) = \tfrac{5}{36}$. Część wspólna z $C$ to $(4,4)$:

$P(C \cap S_8) = \frac{1}{36}, \qquad P(C) \cdot P(S_8) = \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{36} = \frac{5}{216}.$

$\tfrac{1}{36} = \tfrac{6}{216} \ne \tfrac{5}{216}$, więc $C$ i $S_8$ są zależne.

Krok 4. Skąd różnica. Do sumy $7$ da się dojść z każdego wyniku pierwszej kostki - zawsze jest dokładnie jeden pasujący drugi wynik, więc pierwszy rzut nic nie zmienia. Do sumy $8$ nie da się dojść z jedynki, więc wynik pierwszej kostki niesie informację: po czwórce szansa na sumę $8$ wynosi $\tfrac{1}{6}$, a bez tej wiedzy - tylko $\tfrac{5}{36}$.

Odpowiedź. $C$ i $S_7$ są niezależne; $C$ i $S_8$ są zależne.