As i kier - czy to zdarzenia niezależne? Niezależność na kartach

Krok 1. A i K. Asy są $4$, kierów jest $13$, asa kier - $1$:

$P(A) \cdot P(K) = \frac{4}{52} \cdot \frac{13}{52} = \frac{1}{13} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{52}, \qquad P(A \cap K) = \frac{1}{52}.$

Równość zachodzi, więc $A$ i $K$ są niezależne. Wśród kierów asów jest $\tfrac{1}{13}$ - tyle samo co w całej talii. Kolor karty nic nie mówi o jej wartości.

Krok 2. A i S. Kart starszych od dziesiątki jest $4 \cdot 4 = 16$, a każdy as do nich należy, więc $A \cap S = A$:

$P(A) \cdot P(S) = \frac{1}{13} \cdot \frac{16}{52} = \frac{4}{169}, \qquad P(A \cap S) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}.$

$\tfrac{1}{13} \ne \tfrac{4}{169}$, więc $A$ i $S$ są zależne. Gdy wiemy, że karta jest starsza od dziesiątki, szansa na asa rośnie z $\tfrac{1}{13}$ do $\tfrac{4}{16} = \tfrac{1}{4}$.

Pułapka. Intuicja „as i kier to coś wspólnego, więc zależne” jest błędna - zdarzenia mają wspólną kartę, a mimo to są niezależne. Sprawdzamy zawsze wzorem.

Odpowiedź. $A$ i $K$ są niezależne; $A$ i $S$ są zależne.