Ile prostokątów i kwadratów jest na siatce? Kombinacje

Krok 1. Prostokąt to dwie pary prostych. Każdy prostokąt ma dwa boki poziome i dwa pionowe. Wybierając dowolne dwie proste poziome i dowolne dwie proste pionowe, wyznaczamy dokładnie jeden prostokąt - i odwrotnie, każdy prostokąt powstaje tak tylko raz. Kolejność prostych w parze nie ma znaczenia, więc są to kombinacje.

Krok 2. Liczymy pary.

$$\binom{6}{2} = 15, \qquad \binom{8}{2} = 28.$$

Krok 3. Reguła mnożenia.

$$\binom{6}{2} \cdot \binom{8}{2} = 15 \cdot 28 = 420.$$

Krok 4. Kwadraty - rozbijamy na przypadki według boku. Kwadrat ma bok złożony z $k$ kratek, gdzie $k = 1, 2, 3, 4, 5$ (większy się nie zmieści, bo siatka ma $5$ kratek wysokości). Kwadrat o boku $k$ możemy przesuwać: w poziomie ma $7 - k + 1$ położeń, w pionie $5 - k + 1$ położeń. Liczba kwadratów o boku $k$ to iloczyn tych liczb:

• $k = 1$: $7 \cdot 5 = 35$,
• $k = 2$: $6 \cdot 4 = 24$,
• $k = 3$: $5 \cdot 3 = 15$,
• $k = 4$: $4 \cdot 2 = 8$,
• $k = 5$: $3 \cdot 1 = 3$.

Krok 5. Reguła dodawania. Przypadki są rozłączne (kwadrat ma jeden bok), więc dodajemy:

$$35 + 24 + 15 + 8 + 3 = 85.$$

Tu sam wzór na kombinacje nie wystarcza: para prostych poziomych i para pionowych daje kwadrat tylko wtedy, gdy odstępy w obu parach są równe - dlatego liczymy według długości boku.

Odpowiedź. a) $420$ prostokątów; b) $85$ spośród nich to kwadraty.