Czy takie prawdopodobieństwa są możliwe? Cztery zestawy danych do sprawdzenia

Krok 1. Trzy własności, którymi sprawdzamy dane.

• jeśli $C \subset D$, to $P(C) \le P(D)$;
• $A \cap B \subset A$ i $A \cap B \subset B$, a $A \subset A \cup B$ i $B \subset A \cup B$;
• każde prawdopodobieństwo leży w przedziale $[0, 1]$, więc także $P(A \cup B) \le 1$.

Krok 2. Zestaw a). $A \cap B \subset A$, więc musiałoby być $P(A \cap B) \le P(A)$. Tymczasem $0{,}35 > 0{,}3$ - niemożliwe. Część wspólna nie może być „większa” od całego zdarzenia.

Krok 3. Zestaw b). $A \subset A \cup B$, więc $P(A \cup B) \ge P(A) = 0{,}8$. Podano $0{,}7$ - niemożliwe.

Krok 4. Zestaw c). Liczymy sumę:

$P(A \cup B) = 0{,}7 + 0{,}6 - 0{,}2 = 1{,}1 > 1.$

Prawdopodobieństwo nie może przekroczyć $1$ - niemożliwe. (Przy $P(A) = 0{,}7$ i $P(B) = 0{,}6$ część wspólna musi mieć co najmniej $0{,}3$.)

Krok 5. Zestaw d). $0{,}1 \le 0{,}4$ i $0{,}1 \le 0{,}5$, a $P(A \cup B) = 0{,}5 + 0{,}4 - 0{,}1 = 0{,}8 \le 1$. Żadna własność nie jest naruszona. Przykład: losujemy liczbę z $\{1, \ldots, 10\}$, $A = \{1, 2, 3, 4, 5\}$, $B = \{5, 6, 7, 8\}$. Wtedy $P(A) = 0{,}5$, $P(B) = 0{,}4$, $A \cap B = \{5\}$, czyli $P(A \cap B) = 0{,}1$ - możliwe.

Uwaga. Aby wykazać, że dane są możliwe, nie wystarczy brak sprzeczności z jedną własnością - najpewniej podać konkretny przykład, jak w zestawie d).

Odpowiedź. a) nie; b) nie; c) nie; d) tak.