P(A) = 0,7, P(B) = 0,4, P(A ∪ B) = 0,9 - oblicz P(A ∩ B)

Krok 1. Wzór na prawdopodobieństwo sumy.

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$

Odejmujemy $P(A \cap B)$, bo część wspólna jest wliczona zarówno do $P(A)$, jak i do $P(B)$.

Krok 2. Przekształcamy wzór. Szukamy iloczynu, więc

$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B).$

Krok 3. Podstawiamy.

$P(A \cap B) = 0{,}7 + 0{,}4 - 0{,}9 = 0{,}2.$

Krok 4. Czy się wykluczają? Zdarzenia wykluczające się mają $P(A \cap B) = 0$. Tu $P(A \cap B) = 0{,}2 \neq 0$, więc $A$ i $B$ nie wykluczają się. Widać to też wprost: $P(A) + P(B) = 1{,}1 > 1$, a dla zdarzeń rozłącznych ta suma nie mogłaby przekroczyć $1$.

Uwaga o pułapce. Odpowiedź $0{,}28 = 0{,}7 \cdot 0{,}4$ jest błędna - mnożenie prawdopodobieństw działa tylko dla zdarzeń niezależnych, a o niezależności nic nie wiemy. Wzór na sumę działa zawsze.

Odpowiedź. $P(A \cap B) = 0{,}2$; zdarzenia się nie wykluczają.