Prawdopodobieństwo różnicy zdarzeń P(A \ B) i zdarzenia „ani A, ani B”

Szkoła średnia średnie

O zdarzeniach $A$ i $B$ wiadomo, że $P(A) = 0{,}55$ , $P(B) = 0{,}35$ i $P(A \cap B) = 0{,}15$ . Oblicz:

a) $P(A \setminus B)$ , b) $P(B \setminus A)$ , c) $P(A \cup B)$ , d) $P(A' \cap B')$ .

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Rozkład zdarzenia A. Zdarzenie $A$ składa się z dwóch rozłącznych części: $A \cap B$ (zaszło $A$ i $B$ ) oraz $A \setminus B$ (zaszło $A$ , ale nie $B$ ). Stąd

$P(A \setminus B) = P(A) - P(A \cap B).$

Krok 2. Część a) i b).

$P(A \setminus B) = 0{,}55 - 0{,}15 = 0{,}4, \qquad P(B \setminus A) = 0{,}35 - 0{,}15 = 0{,}2.$

Krok 3. Część c). Suma to trzy rozłączne obszary: „tylko $A$ ”, „oba”, „tylko $B$ ”:

$P(A \cup B) = 0{,}4 + 0{,}15 + 0{,}2 = 0{,}75.$

Kontrola wzorem: $0{,}55 + 0{,}35 - 0{,}15 = 0{,}75$ .

Krok 4. Część d). „Nie zaszło $A$ i nie zaszło $B$ ” to z prawa de Morgana zdarzenie przeciwne do sumy:

$P(A' \cap B') = P\big((A \cup B)'\big) = 1 - 0{,}75 = 0{,}25.$

Krok 5. Kontrola całości. Cztery obszary diagramu Venna sumują się do $1$ : $0{,}4 + 0{,}15 + 0{,}2 + 0{,}25 = 1$ .

Uwaga o pułapce. $P(A \setminus B)$ to nie $P(A) - P(B) = 0{,}2$ . Odejmujemy tylko część wspólną - ta część $B$ , która leży poza $A$ , nie ma z $A$ nic wspólnego.

Odpowiedź. a) $0{,}4$ ; b) $0{,}2$ ; c) $0{,}75$ ; d) $0{,}25$ .

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →