Dane P(A' ∪ B') - prawa de Morgana i prawdopodobieństwo sumy

Krok 1. Rozpoznajemy daną. $A' \cup B'$ to „nie zaszło $A$ lub nie zaszło $B$”, czyli „nie zaszły oba naraz”. Z prawa de Morgana

$A' \cup B' = (A \cap B)'.$

Krok 2. Iloczyn. Skoro $A' \cup B'$ jest przeciwne do $A \cap B$:

$P(A \cap B) = 1 - P(A' \cup B') = 1 - 0{,}8 = 0{,}2.$

Krok 3. Suma.

$P(A \cup B) = 0{,}6 + 0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}9.$

Krok 4. Ani A, ani B. Drugie prawo de Morgana: $A' \cap B' = (A \cup B)'$, więc

$P(A' \cap B') = 1 - 0{,}9 = 0{,}1.$

Krok 5. Kontrola. Obszary diagramu Venna: tylko $A$: $0{,}6 - 0{,}2 = 0{,}4$, oba: $0{,}2$, tylko $B$: $0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}3$, żadne: $0{,}1$. Suma $0{,}4 + 0{,}2 + 0{,}3 + 0{,}1 = 1$.

Uwaga o pułapce. Łatwo pomylić $A' \cup B'$ z $A' \cap B'$ i od razu napisać $P(A \cup B) = 1 - 0{,}8 = 0{,}2$. Wtedy wychodzi $P(A \cap B) = 0{,}6 + 0{,}5 - 0{,}2 = 0{,}9$ - więcej niż $P(A)$, czyli sprzeczność. Taki wynik to sygnał, że pomylono prawo de Morgana.

Odpowiedź. $P(A \cap B) = 0{,}2$, $P(A \cup B) = 0{,}9$, $P(A' \cap B') = 0{,}1$.