Najmniejsze i największe możliwe P(A ∩ B) oraz P(A ∪ B) - oszacowania

Krok 1. Ograniczenie z góry dla iloczynu. $A \cap B$ zawiera się zarówno w $A$, jak i w $B$, więc $P(A \cap B) \le P(A) = 0{,}7$ oraz $P(A \cap B) \le P(B) = 0{,}6$. Silniejsze jest drugie:

$P(A \cap B) \le 0{,}6.$

Krok 2. Ograniczenie z dołu dla iloczynu. Prawdopodobieństwo sumy nie przekracza $1$:

$P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A \cup B) \le 1 \quad \Longrightarrow \quad P(A \cap B) \ge 0{,}7 + 0{,}6 - 1 = 0{,}3.$

Intuicja: $A$ i $B$ „zajmują” razem $1{,}3$ całości, która ma tylko $1$ - co najmniej $0{,}3$ musi się nałożyć.

Krok 3. Oba krańce są osiągalne. Losujemy liczbę z $\{1, 2, \ldots, 10\}$.

• Największe nałożenie: $A = \{1, \ldots, 7\}$, $B = \{1, \ldots, 6\}$, wtedy $B \subset A$ i $P(A \cap B) = 0{,}6$.
• Najmniejsze nałożenie: $A = \{1, \ldots, 7\}$, $B = \{5, \ldots, 10\}$, wtedy $A \cap B = \{5, 6, 7\}$ i $P(A \cap B) = 0{,}3$.

Wartości pośrednie (np. $0{,}4$ czy $0{,}5$) dostajemy, przesuwając $B$ między tymi położeniami.

Krok 4. Przedział dla sumy. $P(A \cup B) = 1{,}3 - P(A \cap B)$, a $P(A \cap B) \in [0{,}3;\ 0{,}6]$:

$P(A \cup B) \in [1{,}3 - 0{,}6;\ 1{,}3 - 0{,}3] = [0{,}7;\ 1].$

Dolny kraniec to przypadek $B \subset A$ (suma równa $A$), górny - sytuacja, w której $A \cup B$ wypełnia całą przestrzeń.

Uwaga o pułapce. Odpowiedź „najmniejsza wartość to $0$” jest błędna: przy tych danych $A$ i $B$nie mogą się wykluczać, bo $P(A) + P(B) > 1$.

Odpowiedź. a) $0{,}3 \le P(A \cap B) \le 0{,}6$ (obie wartości osiągalne); b) $0{,}7 \le P(A \cup B) \le 1$.