Zdarzenia wykluczające się - P(A ∪ B) = P(A) + P(B) na ułamkach

Krok 1. Co daje „wykluczają się”. $A \cap B = \varnothing$, więc $P(A \cap B) = 0$ i wzór na sumę upraszcza się do dodawania.

Krok 2. Suma.

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}.$

Krok 3. Ani A, ani B. Z prawa de Morgana $A' \cap B' = (A \cup B)'$:

$P(A' \cap B') = 1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}.$

Krok 4. A i nie B. $A \cap B' = A \setminus B$. Skoro $A$ i $B$ nie mają wspólnych wyników, odjęcie $B$ niczego z $A$ nie usuwa: $A \setminus B = A$. Zatem

$P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B) = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}.$

Uwaga o pułapce. Częsty błąd w kroku 4 to mnożenie $P(A) \cdot P(B') = \tfrac{1}{3} \cdot \tfrac{3}{4} = \tfrac{1}{4}$. Mnożymy tylko przy niezależności - a zdarzenia wykluczające się (o niezerowych prawdopodobieństwach) nigdy nie są niezależne.

Odpowiedź. $P(A \cup B) = \tfrac{7}{12}$, $P(A' \cap B') = \tfrac{5}{12}$, $P(A \cap B') = \tfrac{1}{3}$.